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特殊数判定機

数字输入

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检测结果

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特殊数の説明：

1. 完全数（Perfect Number）：
完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。
σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和
  • 例：6 = 1 + 2 + 3（約数：1, 2, 3）
  • 例：28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14（約数：1, 2, 4, 7, 14）
  • 既知の完全数：6, 28, 496, 8128, 33550336...
  • ユークリッド・オイラーの定理：2^p - 1 が素数（メルセンヌ素数）の場合、2^(p-1) × (2^p - 1) は完全数
  • 未解決問題：奇数の完全数は存在するか？現在も見つかっていない
2. 友愛数（Amicable Numbers）：
友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。
σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b
  • 例：220 と 284 は友愛数の組
  • 220 の真の約数：1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110、和は 284
  • 284 の真の約数：1, 2, 4, 71, 142、和は 220
  • 他の友愛数の組：(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
  • 歴史：ピタゴラス学派は紀元前6世紀にすでに220と284の友愛数の組を知っていた
3. ナルシシスト数（Armstrong Number）：
阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。
n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数
  • 1桁：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9（すべての1桁の数はナルシシスト数）
  • 3桁：153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
  • 3桁：370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
  • 3桁：371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
  • 3桁：407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
  • 4桁：1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
  • 4桁：8208, 9474
  • 総数：ナルシシスト数は有限個のみ（88個が既知）

アルゴリズム計算量：

  • 完全数判定：O(√n) - すべての約数を見つける必要あり
  • 友愛数判定：O(√n) - 真の約数の和を計算しペアを確認
  • ナルシシスト数判定：O(k) - kは桁数、各桁を走査

注意事項：

  • 完全数は非常に稀で、現在までに51個しか発見されていません（2024年現在）
  • 友愛数の判定は大きな数字の場合、約数の和を計算するのに時間がかかることがあります
  • ナルシシスト数の判定は比較的高速ですが、総数は有限です
  • 1は完全数とはみなされません（真の約数の和が0のため）