Fotools
EN

Определитель особых чисел

数字输入

Примеры чисел:

检测结果

输入数字后点击"开始检测"

Пояснение особых чисел:

1. Совершенное число:
完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。
σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和
  • Примеры:6 = 1 + 2 + 3 (Делители: 1, 2, 3)
  • Примеры:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (Делители: 1, 2, 4, 7, 14)
  • Известные совершенные числа:6, 28, 496, 8128, 33550336...
  • Теорема Евклида — Эйлера:Если 2^p - 1 является простым числом (простым числом Мерсенна), то 2^(p-1) × (2^p - 1) является совершенным числом.
  • Нерешённая загадка:Существуют ли нечётные совершенные числа? На данный момент ни одного не найдено.
2. Дружественные числа:
友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。
σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b
  • Примеры:220 и 284 — дружественные числа
  • Собственные делители 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, сумма = 284
  • Собственные делители 284: 1, 2, 4, 71, 142, сумма = 220
  • Другие дружественные пары:(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
  • История:Пифагорейская школа знала о дружественной паре 220 и 284 ещё в VI веке до н. э.
3. Числа Армстронга (самовлюблённые числа):
阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。
n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数
  • Однозначные числа:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (все однозначные числа являются числами Армстронга)
  • Трёхзначные числа:153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
  • Трёхзначные числа:370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
  • Трёхзначные числа:371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
  • Трёхзначные числа:407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
  • Четырёхзначные числа:1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
  • Четырёхзначные числа:8208, 9474
  • Всего:Чисел Армстронга конечное количество (известно 88)

Сложность алгоритмов:

  • Проверка совершенного числа:O(√n) — требуется найти все делители
  • Проверка дружественного числа:O(√n) — требуется вычислить сумму собственных делителей и проверить пары
  • Проверка числа Армстронга:O(k) — k — количество цифр, каждая цифра обрабатывается

Примечания:

  • Совершенные числа крайне редки; на данный момент открыто лишь 51 (по состоянию на 2024 год)
  • Проверка дружественных чисел может занять много времени для больших чисел, так как требуется вычислить сумму делителей
  • Проверка чисел Армстронга относительно быстрая, но общее количество ограничено
  • 1 не считается совершенным числом, хотя сумма его собственных делителей равна 0