Fotools
EN

Детектор на специални числа

数字输入

Примерни числа:

检测结果

输入数字后点击"开始检测"

Обяснение на специалните числа:

1. Съвършено число:
完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。
σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和
  • Примери:6 = 1 + 2 + 3 (Делители: 1, 2, 3)
  • Примери:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (Делители: 1, 2, 4, 7, 14)
  • Известни съвършени числа:6, 28, 496, 8128, 33550336...
  • Теорема на Евклид-Ойлер:Ако 2^p - 1 е просто число (мерсеново просто), тогава 2^(p-1) × (2^p - 1) е съвършено число.
  • Неразгадана загадка:Съществуват ли нечетни съвършени числа? Досега не са открити.
2. Приятелски числа:
友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。
σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b
  • Примери:220 и 284 са приятелски числа
  • Правилни делители на 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, сума = 284
  • Правилни делители на 284: 1, 2, 4, 71, 142, сума = 220
  • Други приятелски двойки:(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
  • История:Питагорейската школа е знаела за приятелската двойка 220 и 284 още през 6 век пр.н.е.
3. Числа на Армстронг (Число на Армстронг / Нарцистично число):
阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。
n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数
  • 1-цифрени числа:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всички едноцифрени числа са числа на Армстронг)
  • 3-цифрени числа:153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
  • 3-цифрени числа:370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
  • 3-цифрени числа:371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
  • 3-цифрени числа:407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
  • 4-цифрени числа:1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
  • 4-цифрени числа:8208, 9474
  • Общ брой:Има само краен брой числа на Армстронг (88 известни)

Сложност на алгоритъма:

  • Откриване на съвършено число:O(√n) - изисква намиране на всички множители
  • Откриване на приятелско число:O(√n) - изисква изчисляване на сумата от правилни делители и проверка на двойки
  • Откриване на число на Армстронг:O(k) - k е броят на цифрите, всяка цифра трябва да бъде обработена

Бележки:

  • Съвършените числа са изключително редки; досега са открити само 51 (към 2024 г.)
  • Откриването на приятелски числа може да отнеме много време за големи числа, тъй като изисква изчисляване на сумата от делителите
  • Откриването на числа на Армстронг е сравнително бързо, но общият брой е ограничен
  • 1 не се счита за съвършено число, въпреки че сумата от правилните му делители е 0