Spezielle-Zahlen-Erkennungstool

Spezialzahlenerkenner

数字输入

Geben Sie die zu überprüfende Zahl ein Unterstützt positive ganze Zahlen (1 ≤ n ≤ 10^9)

Erkennungstyp Wählen Sie den zu erkennenden Zahlentyp

输入数字后点击"开始检测"

1. Vollkommene Zahl:

完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。

σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和

Beispiele:6 = 1 + 2 + 3 (Teiler: 1, 2, 3)
Beispiele:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (Teiler: 1, 2, 4, 7, 14)
Bekannte vollkommene Zahlen:6, 28, 496, 8128, 33550336...
Euklid-Euler-Theorem:Wenn 2^p - 1 eine Primzahl ist (Mersenne-Primzahl), dann ist 2^(p-1) × (2^p - 1) eine vollkommene Zahl.
Ungelöstes Rätsel:Existieren ungerade vollkommene Zahlen? Bisher wurde keine gefunden.

2. Befreundete Zahlen:

友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。

σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b

Beispiele:220 und 284 sind befreundete Zahlen
Echte Teiler von 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, Summe = 284
Echte Teiler von 284: 1, 2, 4, 71, 142, Summe = 220
Weitere befreundete Paare:(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
Geschichte:Die pythagoreische Schule kannte das befreundete Paar 220 und 284 bereits im 6. Jahrhundert v. Chr.

3. Armstrong-Zahlen (Narzisstische Zahlen):

阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。

n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数

1-stellige Zahlen:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (alle einstelligen Zahlen sind Armstrong-Zahlen)
3-stellige Zahlen:153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
3-stellige Zahlen:370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
3-stellige Zahlen:371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
3-stellige Zahlen:407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
4-stellige Zahlen:1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
4-stellige Zahlen:8208, 9474
Gesamtanzahl:Es gibt nur endlich viele Armstrong-Zahlen (88 bekannt)

Algorithmus-Komplexität:

Erkennung vollkommener Zahlen:O(√n) - erfordert das Finden aller Teiler
Erkennung befreundeter Zahlen:O(√n) - erfordert die Berechnung der Summe der echten Teiler und die Überprüfung von Paaren
Erkennung von Armstrong-Zahlen:O(k) - k ist die Anzahl der Stellen, jede Ziffer muss verarbeitet werden

Hinweise:

Vollkommene Zahlen sind extrem selten; bisher wurden nur 51 entdeckt (Stand 2024)
Die Erkennung befreundeter Zahlen kann bei großen Zahlen lange dauern
Die Erkennung von Armstrong-Zahlen ist relativ schnell, aber die Gesamtzahl ist begrenzt
1 gilt nicht als vollkommene Zahl, auch wenn die Summe ihrer echten Teiler 0 ist