1. Número Perfecto:
完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。
σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和
- Ejemplos:6 = 1 + 2 + 3 (Divisores: 1, 2, 3)
- Ejemplos:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (Divisores: 1, 2, 4, 7, 14)
- Números Perfectos Conocidos:6, 28, 496, 8128, 33550336...
- Teorema de Euclides-Euler:Si 2^p - 1 es un número primo (un primo de Mersenne), entonces 2^(p-1) × (2^p - 1) es un número perfecto.
- Misterio No Resuelto:¿Existen números perfectos impares? Hasta ahora no se ha encontrado ninguno.
2. Números Amigables:
友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。
σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b
- Ejemplos:220 y 284 son números amigables
- Divisores propios de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, suman 284
- Divisores propios de 284: 1, 2, 4, 71, 142, suman 220
- Otros pares amigables:(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
- Historia:La escuela pitagórica conocía el par amigable 220 y 284 desde el siglo VI a.C.
3. Números Armstrong (Número de Armstrong / Número Narcisista):
阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。
n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数
- Números de 1 dígito:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (todos los números de un solo dígito son números Armstrong)
- Números de 3 dígitos:153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
- Números de 3 dígitos:370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
- Números de 3 dígitos:371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
- Números de 3 dígitos:407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
- Números de 4 dígitos:1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
- Números de 4 dígitos:8208, 9474
- Total:Solo hay un número finito de números Armstrong (88 conocidos)
Complejidad del algoritmo:
- Detección de número perfecto:O(√n) - requiere encontrar todos los factores
- Detección de número amigable:O(√n) - requiere calcular la suma de divisores propios y verificar pares
- Detección de número Armstrong:O(k) - k es el número de dígitos, cada dígito debe procesarse
Notas:
- Los números perfectos son extremadamente raros; solo se han descubierto 51 hasta ahora (a partir de 2024)
- La detección de números amigables puede llevar mucho tiempo para números grandes porque requiere calcular la suma de factores
- La detección de números Armstrong es relativamente rápida, pero el total es limitado
- 1 no se considera un número perfecto, aunque la suma de sus divisores propios es 0