1. Nombre parfait :
完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。
σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和
- Exemples :6 = 1 + 2 + 3 (Diviseurs : 1, 2, 3)
- Exemples :28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (Diviseurs : 1, 2, 4, 7, 14)
- Nombres parfaits connus :6, 28, 496, 8128, 33550336...
- Théorème d'Euclide-Euler :Si 2^p - 1 est un nombre premier (un nombre de Mersenne), alors 2^(p-1) × (2^p - 1) est un nombre parfait.
- Mystère non résolu :Existe-t-il des nombres parfaits impairs ? Aucun n'a été trouvé jusqu'à présent.
2. Nombres amicaux :
友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。
σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b
- Exemples :220 et 284 sont des nombres amicaux
- Diviseurs propres de 220 : 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, somme à 284
- Diviseurs propres de 284 : 1, 2, 4, 71, 142, somme à 220
- Autres paires amicales :(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
- Histoire :L'école pythagoricienne connaissait la paire amicale 220 et 284 dès le VIe siècle av. J.-C.
3. Nombres narcissiques (Nombre d'Armstrong / Nombre narcissique) :
阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。
n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数
- Nombres à 1 chiffre :0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (tous les nombres à un chiffre sont des nombres narcissiques)
- Nombres à 3 chiffres :153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
- Nombres à 3 chiffres :370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
- Nombres à 3 chiffres :371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
- Nombres à 3 chiffres :407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
- Nombres à 4 chiffres :1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
- Nombres à 4 chiffres :8208, 9474
- Nombre total :Il n'existe qu'un nombre fini de nombres narcissiques (88 connus)
Complexité algorithmique :
- Détection de nombre parfait :O(√n) - nécessite de trouver tous les facteurs
- Détection de nombre amical :O(√n) - nécessite de calculer la somme des diviseurs propres et de vérifier les paires
- Détection de nombre narcissique :O(k) - k est le nombre de chiffres, chaque chiffre doit être traité
Remarques :
- Les nombres parfaits sont extrêmement rares ; seuls 51 ont été découverts à ce jour (en 2024)
- La détection de nombre amical peut prendre du temps pour les grands nombres car elle nécessite de calculer la somme des facteurs
- La détection de nombre narcissique est relativement rapide, mais le nombre total est limité
- 1 n'est pas considéré comme un nombre parfait, même si la somme de ses diviseurs propres est 0