Визначник спеціальних чисел

Детектор спеціальних чисел

数字输入

Введіть число для перевірки Підтримуються додатні цілі числа (1 ≤ n ≤ 10^9)

Тип перевірки Виберіть тип числа для перевірки

输入数字后点击"开始检测"

1. Досконале число:

完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。

σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和

Приклади:6 = 1 + 2 + 3 (Дільники: 1, 2, 3)
Приклади:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (Дільники: 1, 2, 4, 7, 14)
Відомі досконалі числа:6, 28, 496, 8128, 33550336...
Теорема Евкліда-Ейлера:Якщо 2^p - 1 є простим числом (просте Мерсенна), то 2^(p-1) × (2^p - 1) є досконалим числом.
Нерозв'язана загадка:Чи існують непарні досконалі числа? Досі жодного не знайдено.

2. Дружні числа:

友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。

σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b

Приклади:220 та 284 є дружніми числами
Дільники 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, сума = 284
Дільники 284: 1, 2, 4, 71, 142, сума = 220
Інші дружні пари:(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
Історія:Піфагорійська школа знала про дружню пару 220 та 284 ще в VI столітті до н.е.

3. Числа Армстронга (самозакохані числа):

阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。

n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数

1-значні числа:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (усі одноцифрові числа є числами Армстронга)
3-значні числа:153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
3-значні числа:370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
3-значні числа:371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
3-значні числа:407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
4-значні числа:1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
4-значні числа:8208, 9474
Загальна кількість:Існує лише скінченна кількість чисел Армстронга (відомо 88)

Складність алгоритму:

Перевірка досконалого числа:O(√n) — потрібно знайти всі дільники
Перевірка дружнього числа:O(√n) — потрібно обчислити суму дільників та перевірити пари
Перевірка числа Армстронга:O(k) — k — кількість цифр, кожну цифру потрібно обробити

Примітки:

Досконалі числа надзвичайно рідкісні; на сьогодні відкрито лише 51 (станом на 2024 р.)
Перевірка дружніх чисел може тривати довго для великих чисел, оскільки потрібно обчислити суму дільників
Перевірка чисел Армстронга відносно швидка, але загальна кількість обмежена
1 не вважається досконалим числом, хоча сума його дільників дорівнює 0