1. Número Perfeito:
完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。
σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和
- Exemplos:6 = 1 + 2 + 3 (Divisores: 1, 2, 3)
- Exemplos:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (Divisores: 1, 2, 4, 7, 14)
- Números Perfeitos Conhecidos:6, 28, 496, 8128, 33550336...
- Teorema de Euclides-Euler:Se 2^p - 1 é um número primo (um primo de Mersenne), então 2^(p-1) × (2^p - 1) é um número perfeito.
- Mistério Não Resolvido:Existem números perfeitos ímpares? Nenhum foi encontrado até agora.
2. Números Amigáveis:
友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。
σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b
- Exemplos:220 e 284 são números amigáveis
- Divisores próprios de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, soma 284
- Divisores próprios de 284: 1, 2, 4, 71, 142, soma 220
- Outros pares amigáveis:(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
- História:A escola pitagórica conhecia o par amigável 220 e 284 já no século VI a.C.
3. Números de Armstrong (Número de Armstrong / Número Narcisista):
阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。
n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数
- Números de 1 dígito:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (todos os números de um dígito são números de Armstrong)
- Números de 3 dígitos:153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
- Números de 3 dígitos:370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
- Números de 3 dígitos:371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
- Números de 3 dígitos:407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
- Números de 4 dígitos:1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
- Números de 4 dígitos:8208, 9474
- Contagem total:Existem apenas finitos números de Armstrong (88 conhecidos)
Complexidade do algoritmo:
- Detecção de número perfeito:O(√n) - requer encontrar todos os fatores
- Detecção de número amigável:O(√n) - requer calcular a soma dos divisores próprios e verificar pares
- Detecção de Número de Armstrong:O(k) - k é o número de dígitos, cada dígito precisa ser processado
Notas:
- Números perfeitos são extremamente raros; apenas 51 foram descobertos até agora (em 2024)
- A detecção de números amigáveis pode levar muito tempo para números grandes porque requer calcular a soma dos fatores
- A detecção de números de Armstrong é relativamente rápida, mas a contagem total é limitada
- 1 não é considerado um número perfeito, mesmo que a soma de seus divisores próprios seja 0