1. Τέλειος Αριθμός:
完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。
σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和
- Παραδείγματα:6 = 1 + 2 + 3 (Διαιρέτες: 1, 2, 3)
- Παραδείγματα:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (Διαιρέτες: 1, 2, 4, 7, 14)
- Γνωστοί Τέλειοι Αριθμοί:6, 28, 496, 8128, 33550336...
- Θεώρημα Ευκλείδη-Όιλερ:Αν 2^p - 1 είναι πρώτος αριθμός (πρώτος Mersenne), τότε 2^(p-1) × (2^p - 1) είναι τέλειος αριθμός.
- Άλυτο Μυστήριο:Υπάρχουν περιττοί τέλειοι αριθμοί; Κανένας δεν έχει βρεθεί μέχρι στιγμής.
2. Φιλικοί Αριθμοί:
友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。
σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b
- Παραδείγματα:220 και 284 είναι φιλικοί αριθμοί
- Γνήσιοι διαιρέτες του 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, άθροισμα 284
- Γνήσιοι διαιρέτες του 284: 1, 2, 4, 71, 142, άθροισμα 220
- Άλλα φιλικά ζεύγη:(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
- Ιστορία:Η Πυθαγόρεια σχολή γνώριζε το φιλικό ζεύγος 220 και 284 ήδη από τον 6ο αιώνα π.Χ.
3. Αριθμοί Armstrong (Αριθμός Armstrong / Ναρκισσιστικός Αριθμός):
阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。
n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数
- Μονοψήφιοι αριθμοί:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (όλοι οι μονοψήφιοι αριθμοί είναι αριθμοί Armstrong)
- Τριψήφιοι αριθμοί:153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
- Τριψήφιοι αριθμοί:370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
- Τριψήφιοι αριθμοί:371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
- Τριψήφιοι αριθμοί:407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
- Τετραψήφιοι αριθμοί:1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
- Τετραψήφιοι αριθμοί:8208, 9474
- Συνολικό πλήθος:Υπάρχουν μόνο πεπερασμένοι αριθμοί Armstrong (88 γνωστοί)
Πολυπλοκότητα αλγορίθμου:
- Ανίχνευση τέλειου αριθμού:O(√n) - απαιτεί εύρεση όλων των παραγόντων
- Ανίχνευση φιλικού αριθμού:O(√n) - απαιτεί υπολογισμό αθροίσματος γνήσιων διαιρετών και έλεγχο ζευγών
- Ανίχνευση αριθμού Armstrong:O(k) - k είναι ο αριθμός ψηφίων, κάθε ψηφίο πρέπει να υποβληθεί σε επεξεργασία
Σημειώσεις:
- Οι τέλειοι αριθμοί είναι εξαιρετικά σπάνιοι· μόνο 51 έχουν ανακαλυφθεί μέχρι στιγμής (από το 2024)
- Η ανίχνευση φιλικών αριθμών μπορεί να πάρει πολύ χρόνο για μεγάλους αριθμούς επειδή απαιτεί υπολογισμό αθροίσματος παραγόντων
- Η ανίχνευση αριθμού Armstrong είναι σχετικά γρήγορη, αλλά το συνολικό πλήθος είναι περιορισμένο
- Το 1 δεν θεωρείται τέλειος αριθμός, ακόμη κι αν το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του είναι 0