有理近似 / 連分数展開

有効な小数を入力してください

有効な分数を入力してください

元の値: x = ステップ

項数は1から50の間である必要がありますエラー:

クイックサンプル：

項)

誤差:

最適近似（第

計算ステップ

近似分数 (Convergents)

小数値:	a_n	絶対誤差:	相対誤差:	統計情報

アルゴリズムの説明：

展開項数

項

x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))

近似分数の個数

個

計算所要時間

展開タイプ

有限

打ち切り

計算完了！

数値を入力して「計算開始」をクリック

_n/q_n折りたたむ

p_-1 = 1, q_-1 = 0
p₀ = a₀, q₀ = 1
漸化式：p_n = a_n·p_n-1 + p_n-2
漸化式：q_n = a_n·q_n-1 + q_n-2
近似分数は元の数の最適有理近似です

3. 最適有理近似：

与えられた実数 x と分母上限 Q に対し、分数 p/q (q ≤ Q) で |x - p/q| が最小となるものを求める
連分数の近似分数はすべての最適有理近似を与える
p/q が x の近似分数ならば、すべての q' < q に対して |x - p/q| < |x - p'/q'| が成り立つ

4. 特殊な数の連分数：

黄金比 φ：[1; 1, 1, 1, 1, ...] (すべて1、最も収束が遅い)
√2：[1; 2, 2, 2, 2, ...] (周期連分数)
e：[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (規則性あり)
π：[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (明らかな規則性なし)

アルゴリズムの複雑度：

時間複雑度：O(n)、n は展開する項数
空間複雑度：O(n)、すべての係数と近似分数を保存する必要あり
数値安定性：高精度浮動小数点数または多倍長整数を使用することで精度低下を回避

応用シーン：

数値計算：単純な分数で複雑な無理数を近似（π ≈ 22/7, 355/113 など）
音楽理論：音程の協和性と連分数展開の単純性に関連
天文学：惑星の運動周期の有理近似を計算
数論：ディオファントス近似、ペル方程式の解
コンピュータグラフィックス：Bresenham の直線アルゴリズムなど