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高次多項式の因数分解

多項式入力

サンプル多項式：

入力形式の説明：

累乗の表記： ^ 記号を使用、例 x^2、x^3
乗算の表記： 必ず * 記号を使用、例 2*x^2、-3*x
加減算： + と - で各項を接続
定数項： 数値を直接記述、例 + 6、- 12

因数分解の結果

多項式を入力して因数分解を開始

アルゴリズムの説明：

1. 有理根定理（Rational Root Theorem）：
整数係数多項式 a_n·x^n + ... + a_1·x + a_0 について、有理根 p/q（既約形式）が存在する場合：
  • p は定数項 a_0 の約数
  • q は最高次係数 a_n の約数
  • 可能な有理根：±(pの約数)/(qの約数)
  • 例：x³ - 6x² + 11x - 6 の場合、可能な有理根は ±1, ±2, ±3, ±6
2. 総合除法（Synthetic Division）：
根の検証と多項式除算に使用：
  • r が多項式 P(x) の根の場合、P(x) = (x - r)·Q(x)
  • 総合除法により商多項式 Q(x) を高速に取得
  • Q(x) の因数分解を続行し、分解できなくなるまで実施
3. 数値求根法：
有理根定理で整数根が見つからない場合、数値的手法を使用：
  • ニュートン法：x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
  • 実数根（無理数の可能性あり）の求解に使用
  • 複素根については実部と虚部を表示
  • 例：x^2 - 2 = (x - sqrt(2))(x + sqrt(2))
4. 特殊形式の識別：
  • 平方差：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
  • 完全平方：a^2 +/- 2ab + b^2 = (a +/- b)^2
  • 立方差/和：a^3 +/- b^3 = (a +/- b)(a^2 -/+ ab + b^2)
  • 共通因数の抽出：例 x³ + 2x² = x²(x + 2)

アルゴリズムの複雑度：

  • 有理根探索：O(d·n)、d は可能な根の数、n は多項式の次数
  • 総合除法：O(n) 1回の除算あたり
  • 数値求根：O(k·n)、k は反復回数

注意事項：

  • 整数係数の多項式のみ対応
  • 高次多項式（5次以上）は有理根に完全分解できない場合があります
  • 数値解には丸め誤差が生じる可能性があり、近似値として表示
  • 複素根は a + bi 形式で表示
  • 既約多項式は元の式のまま表示