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특수 숫자 감지기

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특수 숫자 설명:

1. 완전수:
完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。
σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和
  • 예시:6 = 1 + 2 + 3 (약수: 1, 2, 3)
  • 예시:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (약수: 1, 2, 4, 7, 14)
  • 알려진 완전수:6, 28, 496, 8128, 33550336...
  • 유클리드-오일러 정리:2^p - 1이 소수(메르센 소수)이면, 2^(p-1) × (2^p - 1)은 완전수입니다.
  • 미해결 수수께끼:홀수 완전수가 존재할까요? 아직 발견되지 않았습니다.
2. 친화수:
友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。
σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b
  • 예시:220과 284는 친화수입니다
  • 220의 진약수: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 합은 284
  • 284의 진약수: 1, 2, 4, 71, 142, 합은 220
  • 다른 친화수 쌍:(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
  • 역사:피타고라스 학파는 기원전 6세기에 이미 220과 284의 친화수 쌍을 알고 있었습니다
3. 암스트롱 수 (Armstrong Number / Narcissistic Number):
阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。
n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数
  • 1자리 숫자:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (모든 한 자리 숫자는 암스트롱 수입니다)
  • 3자리 숫자:153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
  • 3자리 숫자:370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
  • 3자리 숫자:371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
  • 3자리 숫자:407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
  • 4자리 숫자:1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
  • 4자리 숫자:8208, 9474
  • 총 개수:암스트롱 수는 유한하게만 존재합니다 (88개 알려짐)

알고리즘 복잡도:

  • 완전수 감지:O(√n) - 모든 인수를 찾아야 함
  • 친화수 감지:O(√n) - 진약수의 합을 계산하고 쌍을 확인해야 함
  • 암스트롱 수 감지:O(k) - k는 자릿수, 각 자릿수를 처리해야 함

참고 사항:

  • 완전수는 극히 드물며, 현재까지 51개만 발견되었습니다 (2024년 기준)
  • 큰 숫자의 경우 인수의 합을 계산해야 하므로 친화수 감지에 오랜 시간이 걸릴 수 있습니다
  • 암스트롱 수 감지는 상대적으로 빠르지만, 총 개수는 제한적입니다
  • 1은 진약수의 합이 0이므로 완전수로 간주되지 않습니다