Aproximação Racional / Expansão em Frações Contínuas

Aproximações Racionais / Expansões em Frações Contínuas

Digite um número decimal válido

Digite uma fração válida

Valor original: x = Passo

O número de termos deve estar entre 1 e 50 Erro:

Erro:

Valor Decimal:	a_n	Erro Absoluto:	Erro Relativo:	Estatísticas

Número de Termos Expandidos

Termos

x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))

Número de Frações Contínuas

Tempo de Cálculo

Tipo de Expansão

Finita

Truncada

Cálculo Concluído!

Insira um número e clique em "Iniciar Cálculo"

_n/q_nRecolher

3. Melhores Aproximações Racionais:

Dado um número real x e um limite superior Q para o denominador, encontre uma fração p/q (q ≤ Q) que minimize |x - p/q|
Os convergentes de uma fração contínua fornecem todas as melhores aproximações racionais
Se p/q é um convergente de x, então para todo q' < q, temos |x - p/q| < |x - p'/q'|

4. Frações Contínuas de Números Especiais:

A Proporção Áurea φ:[1; 1, 1, 1, 1, ...] (todos uns, convergência mais lenta)
√2:[1; 2, 2, 2, 2, ...] (fração contínua periódica)
e:[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (padronizada)
π:[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (sem padrão óbvio)

Complexidade do Algoritmo:

Complexidade de Tempo:O(n), onde n é o número de termos expandidos
Complexidade de Espaço:O(n), requer armazenar todos os coeficientes e convergentes
Estabilidade Numérica:Usar ponto flutuante de alta precisão ou inteiros grandes evita perda de precisão

Casos de Uso:

Computação Numérica:Aproxime números irracionais complexos com frações simples (ex.: π ≈ 22/7, 355/113)
Teoria Musical:Consonância intervalar relacionada à simplicidade das expansões em frações contínuas
Astronomia:Aproximações racionais para calcular períodos orbitais planetários
Teoria dos Números:Aproximações diofantinas e soluções da equação de Pell
Computação Gráfica:Algoritmo de linha de Bresenham e mais