Fotools
EN

تقريب نسبي / توسيع كسر مستمر

الرجاء إدخال عدد عشري صالح

أمثلة سريعة:

)

الخطأ:

شرح الخوارزمية:

عدد الحدود المفتوحة
حداً
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))
عدد الكسور التقاربية
  • كسراً
  • الوقت المستغرق
  • نوع التوسيع
  • محدود
  • مبتور
    • اكتمل الحساب!
    أدخل رقم ثم انقر "بدء الحساب"
    n/qnإخفاء
    • p-1 = 1, q-1 = 0
    • p0 = a₀, q0 = 1
    • معادلة التكرار: pn = an·pn-1 + pn-2
    • معادلة التكرار: qn = an·qn-1 + qn-2
    • الكسور التقاربية هي أفضل تقريب نسبي للعدد الأصلي
    3. أفضل تقريب نسبي:
    • لعدد حقيقي x وحد أعلى للمقام Q، أوجد الكسر p/q (q ≤ Q) بحيث يكون |x - p/q| أصغر ما يمكن
    • الكسور التقاربية للكسر المستمر تعطي جميع أفضل التقريبات النسبية
    • إذا كان p/q كسراً تقاربياً لـ x، فلكل q' < q، لدينا |x - p/q| < |x - p'/q'|
    4. الكسور المستمرة للأعداد الخاصة:
    • النسبة الذهبية φ:[1; 1, 1, 1, 1, ...] (كلها 1، أبطأ تقارب)
    • √2:[1; 2, 2, 2, 2, ...] (كسر مستمر دوري)
    • e:[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (له نمط)
    • π:[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (لا نمط واضح)

    تعقيد الخوارزمية:

    • التعقيد الزمني:O(n)، حيث n هو عدد الحدود المفتوحة
    • التعقيد المكاني:O(n)، يتطلب تخزين جميع المعاملات والكسور التقاربية
    • الاستقرار العددي:استخدام أعداد عشرية عالية الدقة أو أعداد صحيحة كبيرة لتجنب فقدان الدقة

    سيناريوهات التطبيق:

    • الحسابات العددية:تقريب الأعداد غير النسبية المعقدة بكسور بسيطة (مثل π ≈ 22/7, 355/113)
    • نظرية الموسيقى:التوافق النغمي مرتبط ببساطة توسيع الكسر المستمر
    • علم الفلك:حساب التقريبات النسبية لدورات الكواكب
    • نظرية الأعداد:تقريب ديوفانتوس، حل معادلة بيل
    • رسومات الحاسوب:خوارزمية خط بريزنهام وغيرها