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Rationale Approximationen / Kettenbruchentwicklungen

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Schnellbeispiel:

)

Fehler:

Algorithmusbeschreibung:

Anzahl der entwickelten Terme
Terme
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))
Anzahl der Kettenbrüche
  • Anzahl
  • Berechnungszeit
  • Entwicklungstyp
  • Endlich
  • Abgebrochen
    • Berechnung abgeschlossen!
    Geben Sie eine Zahl ein und klicken Sie auf "Berechnung starten"
    n/qnEinklappen
    • p-1 = 1, q-1 = 0
    • p0 = a₀, q0 = 1
    • Rekursionsformel: pn = an·pn-1 + pn-2
    • Rekursionsformel: qn = an·qn-1 + qn-2
    • Kettenbrüche liefern die beste rationale Approximation der ursprünglichen Zahl
    3. Beste rationale Approximationen:
    • Gegeben eine reelle Zahl x und eine obere Schranke Q für den Nenner, finde einen Bruch p/q (q ≤ Q), der |x - p/q| minimiert
    • Die Näherungsbrüche eines Kettenbruchs liefern alle besten rationalen Approximationen
    • Wenn p/q ein Näherungsbruch von x ist, dann gilt für alle q' < q: |x - p/q| < |x - p'/q'|
    4. Kettenbrüche besonderer Zahlen:
    • Der Goldene Schnitt φ:[1; 1, 1, 1, 1, ...] (alles Einsen, langsamste Konvergenz)
    • √2:[1; 2, 2, 2, 2, ...] (periodischer Kettenbruch)
    • e:[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (mit Muster)
    • π:[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (kein offensichtliches Muster)

    Algorithmus-Komplexität:

    • Zeitkomplexität:O(n), wobei n die Anzahl der entwickelten Terme ist
    • Speicherkomplexität:O(n), erfordert das Speichern aller Koeffizienten und Näherungsbrüche
    • Numerische Stabilität:Die Verwendung von hochpräzisen Gleitkommazahlen oder großen ganzen Zahlen vermeidet Genauigkeitsverluste

    Anwendungsfälle:

    • Numerische Berechnung:Approximation komplexer irrationaler Zahlen durch einfache Brüche (z. B. π ≈ 22/7, 355/113)
    • Musiktheorie:Intervallkonsonanz im Zusammenhang mit der Einfachheit von Kettenbruchentwicklungen
    • Astronomie:Rationale Approximationen zur Berechnung von Planetenumlaufzeiten
    • Zahlentheorie:Diophantische Approximationen und Lösungen der Pell-Gleichung
    • Computergrafik:Bresenham-Linienalgorithmus und mehr