Рационална апроксимация / развитие в непрекъсната дроб

Рационално приближение / Развиване на верижни дроби

Моля, въведете валидна десетична дроб

Моля, въведете валидна дроб

Оригинална стойност: x = Стъпка

Броят на членовете трябва да е между 1 и 50 Грешка:

Грешка:

Десетична стойност:	a_n	Абсолютна грешка:	Относителна грешка:	Статистика

Брой разширени членове

Члена

x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))

Брой верижни дроби

Време за изчисление

Тип разширение

Крайно

Съкратено

Изчислението завърши!

Въведете число и щракнете "Стартиране на изчисление"

_n/q_nСвий

p_-1 = 1, q_-1 = 0
p₀ = a₀, q₀ = 1
Рекурентна формула: p_n = a_n·p_n-1 + p_n-2
Рекурентна формула: q_n = a_n·q_n-1 + q_n-2
Верижните дроби предоставят най-доброто рационално приближение на оригиналното число

3. Най-добри рационални приближения:

За дадено реално число x и горна граница Q за знаменателя, намерете дроб p/q (q ≤ Q), която минимизира |x - p/q|
Конвергентите на верижната дроб предоставят всички най-добри рационални приближения
Ако p/q е конвергент на x, тогава за всички q' < q, имаме |x - p/q| < |x - p'/q'|

4. Верижни дроби на специални числа:

Златното сечение φ:[1; 1, 1, 1, 1, ...] (всички единици, най-бавна сходимост)
√2:[1; 2, 2, 2, 2, ...] (периодична верижна дроб)
e:[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (моделирана)
π:[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (без очевиден модел)

Сложност на алгоритъма:

Времева сложност:O(n), където n е броят на разширените членове
Пространствена сложност:O(n), изисква съхраняване на всички коефициенти и конвергенти
Числена стабилност:Използването на високоточна плаваща запетая или големи цели числа избягва загуба на точност

Случаи на употреба:

Числени изчисления:Приближаване на сложни ирационални числа с прости дроби (напр., π ≈ 22/7, 355/113)
Музикална теория:Консонансът на интервалите е свързан с простотата на разширенията на верижните дроби
Астрономия:Рационални приближения за изчисляване на планетарни орбитални периоди
Теория на числата:Диофантови приближения и решения на уравнението на Пел
Компютърна графика:Алгоритъм на Брезенхам за линии и др.