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Aproximaciones Racionales / Expansiones en Fracciones Continuas

Introduce un decimal válido

Ejemplo Rápido:

)

Error:

Descripción del Algoritmo:

Número de Términos Expandidos
Términos
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))
Número de Fracciones Continuas
  • Conteo
  • Tiempo de Cálculo
  • Tipo de Expansión
  • Finita
  • Truncada
    • ¡Cálculo Completado!
    Introduce un número y haz clic en "Iniciar Cálculo"
    n/qnColapsar
    • p-1 = 1, q-1 = 0
    • p0 = a₀, q0 = 1
    • Fórmula de Recurrencia: pn = an·pn-1 + pn-2
    • Fórmula de Recurrencia: qn = an·qn-1 + qn-2
    • Las fracciones continuas proporcionan la mejor aproximación racional del número original
    3. Mejores Aproximaciones Racionales:
    • Dado un número real x y un límite superior Q para el denominador, encuentra una fracción p/q (q ≤ Q) que minimice |x - p/q|
    • Los convergentes de una fracción continua proporcionan todas las mejores aproximaciones racionales
    • Si p/q es un convergente de x, entonces para todo q' < q, tenemos |x - p/q| < |x - p'/q'|
    4. Fracciones Continuas de Números Especiales:
    • La Proporción Áurea φ:[1; 1, 1, 1, 1, ...] (todos unos, convergencia más lenta)
    • √2:[1; 2, 2, 2, 2, ...] (fracción continua periódica)
    • e:[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (con patrón)
    • π:[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (sin patrón obvio)

    Complejidad del Algoritmo:

    • Complejidad Temporal:O(n), donde n es el número de términos expandidos
    • Complejidad Espacial:O(n), requiere almacenar todos los coeficientes y convergentes
    • Estabilidad Numérica:El uso de coma flotante de alta precisión o enteros grandes evita la pérdida de precisión

    Casos de Uso:

    • Cálculo Numérico:Aproxima números irracionales complejos con fracciones simples (p. ej., π ≈ 22/7, 355/113)
    • Teoría Musical:La consonancia de intervalos se relaciona con la simplicidad de las expansiones en fracciones continuas
    • Astronomía:Aproximaciones racionales para calcular períodos orbitales planetarios
    • Teoría de Números:Aproximaciones diofánticas y soluciones de la ecuación de Pell
    • Gráficos por Computadora:Algoritmo de línea de Bresenham y más