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有理逼近 / 连分数展开

请输入有效的小数

快速示例：

项)

误差:

算法说明：

展开项数
项
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))
渐近分数个数
  • 个
  • 计算耗时
  • 展开类型
  • 有限
  • 截断
    • 计算完成！
    输入数字后点击"开始计算"
    n/qn收起
    • p-1 = 1, q-1 = 0
    • p0 = a₀, q0 = 1
    • 递推公式：pn = an·pn-1 + pn-2
    • 递推公式：qn = an·qn-1 + qn-2
    • 渐近分数是原数的最佳有理逼近
    3. 最佳有理逼近：
    • 对于给定的实数 x 和分母上界 Q，找到分数 p/q (q ≤ Q) 使得 |x - p/q| 最小
    • 连分数的渐近分数给出了所有最佳有理逼近
    • 如果 p/q 是 x 的渐近分数，则对于所有 q' < q，都有 |x - p/q| < |x - p'/q'|
    4. 特殊数的连分数：
    • 黄金比例 φ：[1; 1, 1, 1, 1, ...] (全为1，最慢收敛)
    • √2：[1; 2, 2, 2, 2, ...] (周期连分数)
    • e：[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (有规律)
    • π：[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (无明显规律)

    算法复杂度：

    • 时间复杂度：O(n)，其中 n 是展开的项数
    • 空间复杂度：O(n)，需要存储所有系数和渐近分数
    • 数值稳定性：使用高精度浮点数或大整数可避免精度损失

    应用场景：

    • 数值计算：用简单分数近似复杂无理数（如 π ≈ 22/7, 355/113）
    • 音乐理论：音程和谐度与连分数展开的简单性相关
    • 天文学：计算行星运动周期的有理近似
    • 数论：丢番图逼近、佩尔方程的解
    • 计算机图形：Bresenham 直线算法等