Fotools
EN

Rationale benaderingen / kettingbreukexpansies

Voer een geldig decimaal getal in

Snel voorbeeld:

)

Fout:

Algoritmebeschrijving:

Aantal uitgebreide termen
Termen
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))
Aantal kettingbreuken
  • Aantal
  • Berekeningstijd
  • Expansietype
  • Eindig
  • Afgebroken
    • Berekening voltooid!
    Voer een getal in en klik op "Start berekening"
    n/qnSamenvouwen
    • p-1 = 1, q-1 = 0
    • p0 = a₀, q0 = 1
    • Recurrente formule: pn = an·pn-1 + pn-2
    • Recurrente formule: qn = an·qn-1 + qn-2
    • Kettingbreuken geven de beste rationale benadering van het oorspronkelijke getal
    3. Beste rationale benaderingen:
    • Gegeven een reëel getal x en een bovengrens Q voor de noemer, vind een breuk p/q (q ≤ Q) die |x - p/q| minimaliseert
    • De convergenten van een kettingbreuk geven alle beste rationale benaderingen
    • Als p/q een convergent is van x, dan voor alle q' < q geldt |x - p/q| < |x - p'/q'|
    4. Kettingbreuken van speciale getallen:
    • De gulden snede φ:[1; 1, 1, 1, 1, ...] (alle enen, langzaamste convergentie)
    • √2:[1; 2, 2, 2, 2, ...] (periodieke kettingbreuk)
    • e:[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (patroon)
    • π:[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (geen duidelijk patroon)

    Algoritmecomplexiteit:

    • Tijdcomplexiteit:O(n), waarbij n het aantal uitgebreide termen is
    • Ruimtecomplexiteit:O(n), vereist opslag van alle coëfficiënten en convergenten
    • Numerieke stabiliteit:Gebruik van hoge-precisie drijvende komma of grote gehele getallen voorkomt precisieverlies

    Gebruiksscenario's:

    • Numerieke berekening:Benader complexe irrationele getallen met eenvoudige breuken (bijv. π ≈ 22/7, 355/113)
    • Muziektheorie:Intervalconsonantie gerelateerd aan de eenvoud van kettingbreukexpansies
    • Astronomie:Rationale benaderingen voor het berekenen van planetaire omlooptijden
    • Getaltheorie:Diophantische benaderingen en oplossingen van Pell's vergelijking
    • Computergraphics:Bresenham's lijn algoritme en meer