유리 근사 / 연분수 전개

유효한 소수를 입력하세요

유효한 분수를 입력하세요

원래 값: x = 단계

항 수는 1에서 50 사이여야 합니다 오류:

빠른 예제:

)

오차:

최적 근사 (항

계산 단계

수렴자

소수 값:	a_n	절대 오차:	상대 오차:	통계

알고리즘 설명:

전개된 항 수

항

x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))

연분수 개수

개

계산 시간

전개 유형

유한

절단됨

계산 완료!

숫자를 입력하고 "계산 시작"을 클릭하세요

_n/q_n접기

p_-1 = 1, q_-1 = 0
p₀ = a₀, q₀ = 1
점화식: p_n = a_n·p_n-1 + p_n-2
점화식: q_n = a_n·q_n-1 + q_n-2
연분수는 원래 숫자의 최적 유리 근사를 제공합니다

3. 최적 유리 근사:

실수 x와 분모의 상한 Q가 주어졌을 때, |x - p/q|를 최소화하는 분수 p/q (q ≤ Q)를 찾습니다
연분수의 수렴자는 모든 최적 유리 근사를 제공합니다
p/q가 x의 수렴자이면, 모든 q' < q에 대해 |x - p/q| < |x - p'/q'|입니다

4. 특수 숫자의 연분수:

황금비 φ:[1; 1, 1, 1, 1, ...] (모두 1, 가장 느린 수렴)
√2:[1; 2, 2, 2, 2, ...] (주기적 연분수)
e:[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (패턴 있음)
π:[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (명확한 패턴 없음)

알고리즘 복잡도:

시간 복잡도:O(n), n은 전개된 항의 수
공간 복잡도:O(n), 모든 계수와 수렴자 저장 필요
수치적 안정성:고정밀 부동 소수점 또는 큰 정수를 사용하여 정밀도 손실 방지

활용 사례:

수치 계산:복잡한 무리수를 간단한 분수로 근사 (예: π ≈ 22/7, 355/113)
음악 이론:음정의 협화음이 연분수 전개의 단순성과 관련
천문학:행성 궤도 주기 계산을 위한 유리 근사
정수론:디오판토스 근사 및 펠 방정식의 해
컴퓨터 그래픽스:Bresenham 선 알고리즘 등