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Factorización de polinomios de grado superior

Entrada del polinomio

Polinomios de ejemplo:

Instrucciones de formato de entrada:

Notación de exponente: Usa el símbolo ^, ej. x^2, x^3
Notación de multiplicación: Usa el símbolo *, ej. 2*x^2, -3*x
Suma y resta: Usa + y - para conectar términos
Término constante: Introduce números directamente, como +6, -12

Resultado de la factorización

Introduce el polinomio y haz clic en Iniciar factorización

Explicación del algoritmo:

1. Teorema de la raíz racional:
Para un polinomio con coeficientes enteros a_n·x^n + ... + a_1·x + a_0, si existe una raíz racional p/q (en forma simplificada), entonces:
  • p debe ser un factor del término constante a_0
  • q debe ser un factor del coeficiente principal a_n
  • Las posibles raíces racionales son: ±(factores de p) / (factores de q)
  • Ejemplo:Para x³ - 6x² + 11x - 6, las posibles raíces racionales son ±1, ±2, ±3, ±6
2. División sintética:
Se utiliza para verificar raíces y realizar la división polinómica:
  • Si r es una raíz del polinomio P(x), entonces P(x) = (x - r)·Q(x)
  • La división sintética encuentra rápidamente el polinomio cociente Q(x)
  • Continúa factorizando Q(x) hasta que no se pueda factorizar más
3. Métodos numéricos de búsqueda de raíces:
Cuando el teorema de la raíz racional no encuentra raíces enteras, se utilizan métodos numéricos:
  • Método de iteración de Newton:x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
  • Se utiliza para encontrar raíces reales (que pueden ser irracionales)
  • Para raíces complejas, muestra las partes real e imaginaria
  • Ejemplo:x^2 - 2 = (x - sqrt(2))(x + sqrt(2))
4. Reconocimiento de formas especiales:
  • Diferencia de cuadrados:a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
  • Cuadrado perfecto:a^2 +/- 2ab + b^2 = (a +/- b)^2
  • Diferencia/suma de cubos:a^3 +/- b^3 = (a +/- b)(a^2 -/+ ab + b^2)
  • Extraer factores comunes:Por ejemplo, x³ + 2x² = x²(x + 2)

Complejidad del algoritmo:

  • Búsqueda de raíces racionales:O(d·n), donde d es el número de raíces posibles y n es el grado del polinomio
  • División sintética:O(n) por división
  • Búsqueda numérica de raíces:O(k·n), donde k es el número de iteraciones

Notas:

  • Solo admite polinomios con coeficientes enteros
  • Para polinomios de grado superior (grado ≥ 5), puede que no sea posible una factorización completa en raíces racionales
  • Las soluciones numéricas pueden tener errores de redondeo y se muestran como valores aproximados
  • Las raíces complejas se muestran en la forma a + bi
  • Los polinomios irreducibles se mostrarán en su forma original