Fotools
EN

Faktorisierung von Polynomen höheren Grades

Polynomeingabe

Beispiel-Polynome:

Eingabeformat-Anleitung:

Exponent-Notation: Verwenden Sie das ^-Symbol, z. B. x^2, x^3
Multiplikations-Notation: Verwenden Sie das *-Symbol, z. B. 2*x^2, -3*x
Addition und Subtraktion: Verwenden Sie + und -, um Terme zu verbinden
Konstanter Term: Zahlen direkt eingeben, wie +6, -12

Faktorisierungsergebnis

Polynom eingeben und auf Faktorisierung starten klicken

Algorithmus-Erklärung:

1. Rationaler Nullstellensatz:
Für ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten a_n·x^n + ... + a_1·x + a_0, wenn eine rationale Nullstelle p/q (gekürzt) existiert, dann gilt:
  • p muss ein Teiler des konstanten Terms a_0 sein
  • q muss ein Teiler des führenden Koeffizienten a_n sein
  • Mögliche rationale Nullstellen sind: ±(Teiler von p) / (Teiler von q)
  • Beispiel:Für x³ - 6x² + 11x - 6 sind mögliche rationale Nullstellen ±1, ±2, ±3, ±6
2. Synthetische Division:
Wird verwendet, um Nullstellen zu überprüfen und Polynome zu dividieren:
  • Wenn r eine Nullstelle des Polynoms P(x) ist, dann ist P(x) = (x - r)·Q(x)
  • Die synthetische Division findet schnell das Quotientenpolynom Q(x)
  • Faktorisiere Q(x) weiter, bis keine weitere Faktorisierung möglich ist
3. Numerische Nullstellenverfahren:
Wenn der Rationale Nullstellensatz keine ganzzahligen Nullstellen findet, werden numerische Methoden verwendet:
  • Newton-Verfahren:x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
  • Wird verwendet, um reelle Nullstellen zu finden (die irrational sein können)
  • Für komplexe Nullstellen werden Real- und Imaginärteile angezeigt
  • Beispiel:x^2 - 2 = (x - sqrt(2))(x + sqrt(2))
4. Erkennung spezieller Formen:
  • Differenz von Quadraten:a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
  • Perfektes Quadrat:a^2 +/- 2ab + b^2 = (a +/- b)^2
  • Differenz/Summe von Kubiken:a^3 +/- b^3 = (a +/- b)(a^2 -/+ ab + b^2)
  • Gemeinsame Faktoren ausklammern:Zum Beispiel x³ + 2x² = x²(x + 2)

Algorithmus-Komplexität:

  • Suche nach rationalen Nullstellen:O(d·n), wobei d die Anzahl der möglichen Nullstellen und n der Polynomgrad ist
  • Synthetische Division:O(n) pro Division
  • Numerische Nullstellensuche:O(k·n), wobei k die Anzahl der Iterationen ist

Hinweise:

  • Unterstützt nur Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten
  • Für Polynome höheren Grades (Grad ≥ 5) ist eine vollständige Faktorisierung in rationale Nullstellen möglicherweise nicht möglich
  • Numerische Lösungen können Rundungsfehler aufweisen und werden als Näherungswerte angezeigt
  • Komplexe Nullstellen werden in der Form a + bi angezeigt
  • Irreduzible Polynome werden in ihrer ursprünglichen Form angezeigt