Факторизація многочленів високого степеня

Розкладання многочленів вищих степенів

Вхідний многочлен

Введіть многочлен Підтримуються многочлени з цілими коефіцієнтами до 8-го степеня

Метод розкладання Автоматичний вибір спочатку пробує раціональні корені, потім чисельні методи за потреби

Позначення степеня: Використовуйте символ ^, наприклад: x^2, x^3

Позначення множення: Використовуйте символ *, наприклад: 2*x^2, -3*x

Додавання та віднімання: Використовуйте + та - для з'єднання членів

Вільний член: Вводьте числа безпосередньо, наприклад: +6, -12

Введіть многочлен і натисніть "Почати розкладання"

1. Теорема про раціональні корені:

Для многочлена з цілими коефіцієнтами a_n·x^n + ... + a_1·x + a_0, якщо існує раціональний корінь p/q (у найпростішій формі), то:

2. Синтетичне ділення:

Використовується для перевірки коренів та ділення многочленів:

3. Чисельні методи знаходження коренів:

Коли теорема про раціональні корені не дає результату, використовуються чисельні методи:

Метод ітерації Ньютона:x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
Використовується для знаходження дійсних коренів (які можуть бути ірраціональними)
Для комплексних коренів показується дійсна та уявна частини
Приклад:x^2 - 2 = (x - sqrt(2))(x + sqrt(2))

4. Розпізнавання спеціальних форм:

Складність алгоритму:

Пошук раціональних коренів:O(d·n), де d — кількість можливих коренів, n — степінь многочлена
Синтетичне ділення:O(n) на одне ділення
Чисельне знаходження коренів:O(k·n), де k — кількість ітерацій

Примітки:

Підтримуються лише многочлени з цілими коефіцієнтами
Для многочленів високого степеня (≥ 5) повне розкладання на раціональні корені може бути неможливим
Чисельні рішення можуть мати похибки округлення та відображаються як наближені значення
Комплексні корені відображаються у формі a + bi
Нерозкладні многочлени відображаються у вихідній формі