Fotools
EN

تحليل متعددات الحدود عالية الدرجة

إدخال متعددة الحدود

متعددات حدود أمثلة:

شرح تنسيق الإدخال:

تمثيل الأس: استخدم رمز ^، مثل x^2، x^3
تمثيل الضرب: يجب استخدام علامة *، مثل 2*x^2، -3*x
الجمع والطرح: استخدم + و - لربط الحدود
الحد الثابت: اكتب الرقم مباشرة، مثل + 6، - 12

نتيجة التحليل

أدخل متعددة الحدود ثم انقر على بدء التحليل

شرح الخوارزمية:

1. نظرية الجذور النسبية (Rational Root Theorem):
لمتعددة الحدود ذات المعاملات الصحيحة a_n·x^n + ... + a_1·x + a_0، إذا كان هناك جذر نسبي p/q (في أبسط صورة)، فإن:
  • p يجب أن يكون عاملاً من عوامل الحد الثابت a_0
  • q يجب أن يكون عاملاً من عوامل المعامل الرئيسي a_n
  • الجذور النسبية الممكنة هي: ±(عوامل p)/(عوامل q)
  • مثال:لـ x³ - 6x² + 11x - 6، الجذور النسبية الممكنة هي ±1, ±2, ±3, ±6
2. القسمة التركيبية (Synthetic Division):
تُستخدم للتحقق من الجذور وإجراء قسمة متعددة الحدود:
  • إذا كان r جذراً لـ P(x)، فإن P(x) = (x - r)·Q(x)
  • من خلال القسمة التركيبية يمكن الحصول بسرعة على خارج القسمة Q(x)
  • استمر في تحليل Q(x) حتى لا يمكن تحليلها أكثر
3. إيجاد الجذور العددية:
عندما تفشل نظرية الجذور النسبية في إيجاد جذور صحيحة، يتم استخدام الطرق العددية:
  • طريقة نيوتن للتكرار:x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
  • لحل الجذور الحقيقية (قد تكون غير نسبية)
  • للجذور المركبة، يتم عرض الجزء الحقيقي والجزء التخيلي
  • مثال:x^2 - 2 = (x - sqrt(2))(x + sqrt(2))
4. التعرف على الأشكال الخاصة:
  • فرق المربعين:a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
  • مربع كامل:a^2 +/- 2ab + b^2 = (a +/- b)^2
  • فرق/مجموع المكعبين:a^3 +/- b^3 = (a +/- b)(a^2 -/+ ab + b^2)
  • استخراج العامل المشترك:مثل x³ + 2x² = x²(x + 2)

تعقيد الخوارزمية:

  • بحث الجذور النسبية:O(d·n)، حيث d هو عدد الجذور المحتملة، n هي درجة متعددة الحدود
  • القسمة التركيبية:O(n) لكل قسمة
  • إيجاد الجذور عددياً:O(k·n)، حيث k هو عدد التكرارات

ملاحظات:

  • يدعم فقط متعددات الحدود ذات المعاملات الصحيحة
  • لمتعددات الحدود عالية الدرجة (≥5)، قد لا يمكن تحليلها بالكامل إلى جذور نسبية
  • قد تحتوي الحلول العددية على أخطاء تقريب، تُعرض كقيم تقريبية
  • تُعرض الجذور المركبة بصيغة a + bi
  • تظهر متعددات الحدود غير القابلة للاختزال كصيغتها الأصلية