有理逼近 / 連分數展開

請輸入有效的小數

請輸入有效的分數

原始值: x = 步驟

項數必須在 1 到 50 之間錯誤:

快速示例：

項)

誤差:

最優逼近（第

計算步驟

漸近分數 (Convergents)

小數值:	a_n	絕對誤差:	相對誤差:	統計資訊

演算法說明：

展開項數

項

x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...)))

漸近分數個數

個

計算耗時

展開型別

有限

截斷

計算完成！

輸入數字後點擊"開始計算"

_n/q_n收起

p_-1 = 1, q_-1 = 0
p₀ = a₀, q₀ = 1
遞推公式：p_n = a_n·p_n-1 + p_n-2
遞推公式：q_n = a_n·q_n-1 + q_n-2
漸近分數是原數的最佳有理逼近

3. 最佳有理逼近：

對於給定的實數 x 和分母上界 Q，找到分數 p/q (q ≤ Q) 使得 |x - p/q| 最小
連分數的漸近分數給出了所有最佳有理逼近
如果 p/q 是 x 的漸近分數，則對於所有 q' < q，都有 |x - p/q| < |x - p'/q'|

4. 特殊數的連分數：

黃金比例 φ：[1; 1, 1, 1, 1, ...] (全為1，最慢收斂)
√2：[1; 2, 2, 2, 2, ...] (週期連分數)
e：[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...] (有規律)
π：[3; 7, 15, 1, 292, 1, ...] (無明顯規律)

演算法複雜度：

時間複雜度：O(n)，其中 n 是展開的項數
空間複雜度：O(n)，需要儲存所有係數和漸近分數
數值穩定性：使用高精度浮點數或大整數可避免精度損失

應用場景：

數值計算：用簡單分數近似複雜無理數（如 π ≈ 22/7, 355/113）
音樂理論：音程和諧度與連分數展開的簡單性相關
天文學：計算行星運動週期的有理近似
數論：丟番圖逼近、佩爾方程的解
計算機圖形：Bresenham 直線演算法等