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高次多項式因式分解

多項式輸入

示例多項式：

輸入格式說明：

冪次表示： 使用 ^ 符號，如 x^2、x^3
乘法表示： 必須使用 * 號，如 2*x^2、-3*x
加減法： 使用 + 和 - 連線各項
常數項： 直接寫數字，如 + 6、- 12

因式分解結果

輸入多項式後點擊開始因式分解

演算法說明：

1. 有理根定理（Rational Root Theorem）：
對於整係數多項式 a_n·x^n + ... + a_1·x + a_0，如果存在有理根 p/q（最簡形式），則：
  • p 必須是常數項 a_0 的因子
  • q 必須是首項係數 a_n 的因子
  • 可能的有理根為：±(p的因子)/(q的因子)
  • 示例：對於 x³ - 6x² + 11x - 6，可能的有理根為 ±1, ±2, ±3, ±6
2. 綜合除法（Synthetic Division）：
用於驗證根並進行多項式除法：
  • 如果 r 是多項式 P(x) 的根，則 P(x) = (x - r)·Q(x)
  • 通過綜合除法可以快速得到商多項式 Q(x)
  • 繼續對 Q(x) 進行因式分解，直到無法分解
3. 數值求根法：
當有理根定理無法找到整數根時，使用數值方法：
  • 牛頓迭代法：x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
  • 用於求解實數根（可能是無理數）
  • 對於複數根，顯示實部和虛部
  • 示例：x^2 - 2 = (x - sqrt(2))(x + sqrt(2))
4. 特殊形式識別：
  • 平方差：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
  • 完全平方：a^2 +/- 2ab + b^2 = (a +/- b)^2
  • 立方差/和：a^3 +/- b^3 = (a +/- b)(a^2 -/+ ab + b^2)
  • 提取公因式：如 x³ + 2x² = x²(x + 2)

演算法複雜度：

  • 有理根搜尋：O(d·n)，其中 d 是可能根的數量，n 是多項式次數
  • 綜合除法：O(n) 每次除法
  • 數值求根：O(k·n)，其中 k 是迭代次數

注意事項：

  • 僅支援整數係數的多項式
  • 對於高次多項式（≥5次），可能無法完全分解為有理根
  • 數值解可能存在舍入誤差，顯示為近似值
  • 複數根以 a + bi 形式顯示
  • 不可約多項式會顯示為原式