1. จำนวนสมบูรณ์ (Perfect Number):
完全数是指所有真因子（即除了自身以外的正因子）之和等于它本身的正整数。
σ(n) = 2n，其中 σ(n) 是 n 的所有因子（包括自身）之和
- ตัวอย่าง:6 = 1 + 2 + 3 (ตัวหาร: 1, 2, 3)
- ตัวอย่าง:28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (ตัวหาร: 1, 2, 4, 7, 14)
- จำนวนสมบูรณ์ที่รู้จัก:6, 28, 496, 8128, 33550336...
- ทฤษฎีบท Euclid-Euler:ถ้า 2^p - 1 เป็นจำนวนเฉพาะ (จำนวนเฉพาะแมร์เซน) แล้ว 2^(p-1) × (2^p - 1) เป็นจำนวนสมบูรณ์
- ปริศนาที่ยังไม่ได้แก้:มีจำนวนสมบูรณ์ที่เป็นเลขคี่หรือไม่? ปัจจุบันยังไม่พบ
2. จำนวนมิตร (Amicable Numbers):
友好数是一对数字，其中每个数的真因子之和等于另一个数。
σ(a) - a = b 且 σ(b) - b = a，其中 a ≠ b
- ตัวอย่าง:220 และ 284 เป็นคู่จำนวนมิตร
- ตัวหารแท้ของ 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 รวมเป็น 284
- ตัวหารแท้ของ 284: 1, 2, 4, 71, 142 รวมเป็น 220
- คู่จำนวนมิตรอื่น ๆ:(1184, 1210), (2620, 2924), (5020, 5564)...
- ประวัติ:สำนักพีทาโกรัสรู้จักคู่จำนวนมิตร 220 และ 284 ตั้งแต่ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสตกาล
3. จำนวนอาร์มสตรอง (Armstrong Number / จำนวนหลงตัวเอง):
阿姆斯特朗数是指一个 k 位数，它的每个位上的数字的 k 次幂之和等于它本身。
n = d₁^k + d₂^k + ... + dₖ^k，其中 k 为数字位数
- จำนวน 1 หลัก:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ทุกจำนวนหลักเดียวเป็นจำนวนอาร์มสตรอง)
- จำนวน 3 หลัก:153 = 1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27
- จำนวน 3 หลัก:370 = 3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0
- จำนวน 3 หลัก:371 = 3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1
- จำนวน 3 หลัก:407 = 4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343
- จำนวน 4 หลัก:1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴ = 1 + 1296 + 81 + 256
- จำนวน 4 หลัก:8208, 9474
- รวม:มีจำนวนอาร์มสตรองอยู่จำนวนจำกัด (88 ตัวที่รู้จัก)
ความซับซ้อนของอัลกอริทึม:
- ตรวจสอบจำนวนสมบูรณ์:O(√n) - ต้องหาตัวหารทั้งหมด
- ตรวจสอบจำนวนมิตร:O(√n) - ต้องคำนวณผลรวมตัวหารแท้และตรวจสอบคู่
- ตรวจสอบจำนวนอาร์มสตรอง:O(k) - k คือจำนวนหลัก ต้องวนแต่ละหลัก
ข้อควรทราบ:
- จำนวนสมบูรณ์หายากมาก ปัจจุบันพบเพียง 51 ตัว (ณ ปี 2024)
- การตรวจสอบจำนวนมิตรสำหรับตัวเลขขนาดใหญ่อาจใช้เวลานาน เพราะต้องคำนวณผลรวมตัวหาร
- การตรวจสอบจำนวนอาร์มสตรองค่อนข้างรวดเร็ว แต่มีจำนวนจำกัด
- 1 ไม่ถือเป็นจำนวนสมบูรณ์ แม้ว่าผลรวมของตัวหารแท้จะเป็น 0